九连环中的数学九连环与数学有着密切的关系，数学又能用计算机语言来表述。我们可以用计算机编码的方法来表述九连环的拆解过程。九连环在拆解过程中，环在手柄中不断上下变化。环在手柄上为1，环在手柄下为0，把九个环可看作9个阶层，每个环都有上与下两个状态一连环为1阶、有21=2状态二连环为2阶、有22=4状态三连环为3阶、有23=8状态四连环为4阶、有24=16状态……九连环为9阶、有29=512状态也就是说，不同级别连环的状态数目由低到高是一个公差为2的等比数列，2、4、8、16……呈几何级数递增，连环每增加一级，它的状态数目就翻一翻。设连环的阶层为n,状态数目为K，连环状态数目的计算公式为：K=2n当所有的环全部套在手柄上，即通常所说的“满贯状态”，就是一种特殊的中间状态，被称为“九九归一”，它正好是第342状态，（341步）。与用代数方法来求得的步数一样。满贯状态以后还可以继续穿解下去，一直穿解到第九个环联在手柄上，不能再穿解下去了，被称为终态，是第512状态。由于在穿解连环时，一个单程所需要有步数，总比状态数少一，所以为511步。在拆解九连环时，每个环移动的次数又是一个有限递减等比数列，由一环、二环至九环所移动的次数为256、128、64、32、16、8、4、2、1。设连环数为n，次数为B，计算移动次数的公式为：B=256/2n-1如果用二进制数字1和0来表示环在手柄上与手柄下，那么就有下表环与手柄全部分离（始态）环与手柄全部结合（中间态）只剩第九个环在手柄上（终态）格雷码000000000111111111000000001二进制000000000101010101111111111十进制0341511
九连环状态表有512项，这里从略，仅列三连环状态表。

二进制格雷码10000002001001301001140110105100110610111171101018111100
用计算机编程中的格雷码来表述九连环的拆解过程，就会发现，九位格雷码与九连环的状态表完全相同，与九位的二进制数一一对应，也是512个数码，甚至连排列顺序也完全一样，而且非常直观。九连环的穿解过程虽然很长，很复杂，但非常有规律。其前七步加后一步为一个周期共8步，前七步的口诀是“一二一三一二一，柄前连二下第二，柄前单一上后环”。用坐标来表示如下：

前七步每个周期都相同，只有最后的一步不同。再从代数角度来考察上环过程中，步数和环数的关系，首先考察一下上四环的程序：    1.上一环需一步，    2.上二环需二步，    3.上三环要先上一，二环，下一环，再上第三环，又上第一环，共五步。    4.上四环，照前法连上前面三环，再下开头二环，然后才能上第四环，最后又上开头二环，共十步。    我们考察了上文所举连上四环的十步程序，知道开头的五步就是上三环的程序，接下去的两步和连上二环的次序相反，实际上就是连下二环，后面一步是上第四环，最后两步是连上二环。再考察其它环数，也有类似的步骤，从此推到一般，知道要连上n环，必须先连上n-1环，再连下n-2环，接着上第n环，最后连上n-2环。    设以T1，T2,  T3,……Tn-1,  Tn。    表示单上一环，连上二环，连上三环……连上n-1环，连上n环的程序步数。    那么单下一环，连下二环，连下三环，以至连下n-1环，连下n环的程序步数，当然也是一样的。根据前面推得的一般情形，可得如下公式： Tn=Tn-1+Tn-2+1+Tn-2   =Tn-1+2Tn-2+1    有了这个公式，就可以用T1和T2做基础，由此求得T3，再由T2,T3求T4, 由T3,T4求T5, 由T4,T5求T6, 以至无穷，现在从已知T1=1,  T2=2，求其余各数如下：      

一连环 T1=1步  

二连环 T2=2步  

三连环 T3=T2+2T1 +1=2+2×1+1=5步  

四连环 T4=T3+2T2 +1=5+2×2+1=10步  

五连环 T5=T4+2T3 +1=10+2×5+1=21步

六连环 T6=T5+2T4 +1=21+2×10+1=42步  

七连环 T7=T6+2T5 +1=42+2×21+1=85步  

八连环T8=T7+2T6 +1=85+2×42+1=170步  

九连环 T9=T8+2T7 +1=170+2×85+1=341步   

考察上列各算式，知道Tn为偶数时，Tn恰为Tn-1的2倍；Tn为奇数时，Tn比Tn-1的2倍多1，所以，求Tn还有较前更简单的方法，列成公式得：    当n是偶数时，Tn=2Tn-1    当n是奇数时，Tn=2Tn-1+1结合上面两式，可以得到更简便的结果：    当n是偶数时，Tn=4Tn-2 +2=(2n+1 -2)／3    当n是奇数时，Tn=4Tn-2 +1=(2n+1 -1)／3这两个公式的代数证明，可用数学归纳法获得，这里从略。   

以上公式所得结果1、3、5、10、21、42、85、170、341……表示了环数和步数之间的数列关系，这不是等比数列，也非等差数列，是一个非常特殊的九连环数列。说九连环是数学玩具一点也不为过，其中的数学内含极为丰富，还包含着高等数学中的扑拓学原理。一种只研究几何图形的位置关系，形状、距离、大小变化而结果不变的学问。拓扑是产生新式连环的重要手段，除了知名度最高的九连环以外，还有许多各式各样的连环，都是由最简单最原始的连环逐渐拓朴变形而来的。另外，解连环的过程是拓朴的，解连环的过程也就是同一副连环玩具连续拓朴变形的过程，在连续拓朴变形后出现了奇迹，把看似不可能的事情变为可能。这就是连环玩具的魅力所在，连环玩具的产生和使用都离不开拓朴学。同时，还包含着数学中的递归法思想，就是把一个大问题分解为一个较小的问题，再把较小的问题分解为一个更小的问题…… 然后，先解决最小问题，再解决大一点的问题，直至最后问题全部解决。九连环流传千年而不衰，曾征服古今中外无数好者，是中华民族传统文化中的一颗璀璨明珠。

作者：蒋元栋